2. nädala ülesanne
Masskese
Ebaühtlase massijaotusega kera asetatakse poolkerale, kus ta saab veereda, kuid mitte libiseda. Millisele kaugusele $a$ kera keskpunktist peab olema nihutatud kera massikese C, et kera alla ei veereks (vt. joon.)? Nii kera kui poolkera raadius on $R$. Kasulikuks võib osutuda teadmine, et väikeste nurkade korral $\cos \varphi \approx 1 - \varphi^2 /2$.Ülesanne esines olümpiaadil: lõppvoor 2002, G1. Komplekt Lahendused
Lahendusidee
Mõtleme, mis juhtub, kui ülemist kera poolkera peal keerata mingi väikse nurga $\varphi$ võrra. Tehke joonis, kus see nurk on selguse huvides vähemalt $10$ kraadi, kuid avaldisi kirja pannes pidage silmas, et nurk on lõpmatult väike ja võib teha väikeste nurkade lähendusi.
Kus on kerade uus puutepunkt? Kuhu, millise nurga võrra, liikus vana puutepunkt? Kuhu jääb nüüd ülemise kera masskese? Stabiilse ja ebastabiilse tasakaalu eristamist võib teha näiteks kahel moel:
1) Kuhu jääb masskeskme projektsioon kerade puutepunkti suhtes. Kas masskese tekitab vasakule või paremale pöörava jõumomendi? (Millal on tasakaal stabiilne?)
2) Kas kera potentsiaalne energia kasvas või kahanes, st kas masskese kerkis või langes. Kumb neist vastab stabiilsele ja kumb ebastabiilsele tasakaalule?